Capacitación para el ministerio con niños
Matemática
Principios bíblicos acerca de la matemática
La matemática es la expresión más clara de que Dios es un Dios del orden. Varios pasajes bíblicos se refieren al orden que Dios impuso al universo:
"Los cielos cuentan la gloria de Dios, y el firmamento anuncia la obra de sus manos.
Un día emite palabra a otro día, y una noche a otra noche declara sabiduría."
(Salmo 19:1-2)"Por tu ordenación subsisten todas las cosas hasta hoy, pues todas ellas te sirven."
(Salmo 119:91)
También dice que Dios hizo todas las cosas según medidas:
"¿Dónde estabas tú cuando yo fundaba la tierra? Házmelo saber, si tienes inteligencia.
¿Quién ordenó sus medidas, si lo sabes? ¿O quién extendió sobre ella cordel?"
(Job 38:4-5)"¿Quién midió las aguas con el hueco de su mano y los cielos con su palmo, con tres dedos juntó el polvo de la tierra, y pesó los montes con balanza, y con pesas los collados? ..."
(Isaías 40:12)
Aun más explícitamente lo dice el apócrifo libro de "Sabiduría de Salomón": "... pero tú ordenaste todo con número, peso y medida." (11:20). Este pasaje fue citado a menudo por los escolásticos de la Edad Media, cuando hicieron los primeros intentos de describir fenómenos del mundo físico con relaciones matemáticas. Así creció poco a poco en aquellos precursores de la ciencia moderna la convicción de que el orden divino del universo se podía describir por medio de la matemática. Esta convicción fue expresada más claramente por Isaac Newton y Juan Kepler. Ellos confiaban en que era posible describir los movimientos de los planetas, y en general las leyes físicas del universo, mediante fórmulas matemáticas. Ellos confiaban en que esto era posible, precisamente, porque Dios había creado un mundo ordenado; y porque el hombre, creado en la imagen de Dios, debe ser capaz de descubrir y entender este orden de Dios. Así, la cosmovisión cristiana acerca de la matemática dio origen a los fundamentos de la ciencia moderna.
Obviamente, el origen de la matemática está en Dios mismo. En la Biblia aparecen los primeros números en relación con la Creación, cuando Dios enumeró los días (primer día, segundo día, ...). Con la creación del sol, de la luna y de las estrellas fue a la vez creada la medición del tiempo (Génesis 1:14). Y junto con la creación de los animales, Dios determinó que su procreación iba a seguir la operación matemática de la multiplicación (Génesis 1:22). Así que la matemática existió antes que el hombre.
Aun matemáticos no cristianos han admitido que la matemática es algo transcendental; algo mucho más grande que el invento de nuestra propia mente. Así dijo por ejemplo G.H.Hardy: "Yo creo que la realidad matemática se encuentra afuera de nosotros mismos. Nuestra función es descubrir u observarla; y los teoremas que describimos de manera grandilocuente como 'nuestras creaciones', son simplemente anotaciones acerca de nuestras observaciones."
Solamente así se puede explicar que los matemáticos
del mundo entero, al investigar algún problema
matemático, llegarán unánimemente a la misma
conclusión. Aunque usen distintas construcciones
mentales para llegar a sus resultados, al fin
encontrarán que las leyes matemáticas que descubren,
coinciden.
Las leyes de la matemática son fundamentalmente
distintas de las reglas de la ortografía, o de la
urbanidad, o de la clasificación de los animales y
plantas: Estas últimas son "convenciones", o
sea, se basan en acuerdos arbitrarios entre los
lingüístas, los científicos, o la sociedad en general.
Si un número suficientemente grande de personas se ponen
de acuerdo, se pueden cambiar por ejemplo las reglas de
la ortografía, y esto no haría ningún daño al
lenguaje. - En cambio, aun todos los matemáticos del
mundo no podrían alterar las leyes de la matemática,
porque entonces la matemática dejaría de funcionar, y
todos sabrían que esta matemática alterada sería equivocada.
O sea, en la matemática existen normas absolutas y
universales de lo que es "correcto" y
"equivocado". Tienen validez para todas las
personas, en todas las culturas, y por todos los tiempos.
(Así tienen que ver también con la eternidad
de Dios.) De esta manera, la matemática es un fuerte
testimonio en contra del relativismo (la filosofía que
dice que no existe la verdad absoluta).
Ahora, esto no debe confundirse con las notaciones o símbolos matemáticos. Estos, por supuesto son arbitrarios: en vez de usar el símbolo √ para la raíz cuadrada, podríamos usar el símbolo ¶ o cualquier otro. Estos símbolos y notaciones son como la "ortografía" de la matemática, la cual podemos cambiar si queremos. Pero no podemos cambiar las verdades fundamentales que expresamos con estos símbolos.
Por eso es importante en la práctica de la
matemática, poner mucho más énfasis en estas verdades
fundamentales que en las notaciones y símbolos. Por
ejemplo, es mucho más importante que los niños
comprendan la esencia de la ley conmutativa (dos
términos se pueden intercambiar y el resultado sigue
igual), a que aprendan a anotarla con exactamente los
mismos símbolos como los que usa el libro escolar. La
ley conmutativa se puede expresar de distintas maneras -
p.ej. con una serie de flechas dibujadas en el papel, o
con bloques de madera que se intercambian. Los símbolos
son una ayuda para comunicar verdades matemáticas a
otras personas (si es que estas otras personas usan los
mismos símbolos), pero no son "verdades" en
sí mismos.
Desafortunadamente, la enseñanza escolar actual pone un
énfasis exagerado en detalles de la notación que no
tienen ningún significado matemático: en qué
cuadrícula escribir el resultado, cómo subrayarlo, con
qué color escribir los signos, etc. Esto da a los
alumnos la impresión equivocada de que los detalles de
la notación "son" la matemática, y les impide
entender lo que la matemática realmente es. (Vea "Aprender
matemática: ¿Questión de burocracia o de
principios?") Esto es como si la
enseñanza de un idioma consistiría únicamente en
ortografía, y nunca se aprendería el significado
de las palabras.
Una enseñanza de la matemática basada en principios, puede ayudar a los niños a apreciar la verdad absoluta de Dios. Les puede ayudar a ser personas ordenadas, a respetar las leyes de Dios, y a ser fieles y constantes en cuanto a los principios de Dios.
La matemática refleja, además, la grandeza infinita de Dios:
"Porque mis pensamientos no son vuestros pensamientos, ni vuestros caminos mis caminos, dice el Señor.
Como son más altos los cielos que la tierra, así son mis caminos más altos que vuestros caminos, y mis pensamientos más que vuestros pensamientos."
(Isaías 55:8-9)
Así existe también en la matemática siempre algo
"más grande", algo "más allá" de
lo que sabemos. Tan solamente en la secuencia de los
números naturales, podemos pensar en un número tan
grande como queremos, siempre se encontrará un número
todavía más grande. Pero no suficiente con esto,
existen números de una "cualidad distinta",
los números racionales (fracciones), de manera que entre
dos números naturales sucesivos cualesquieras existe una
cantidad infinita de números racionales. Pero
aun a esta "infinidad de infinidades" le
podemos añadir los números irracionales (los que no se
pueden representar en forma de una fracción, como p.ej.
las raíces cuadradas), y entonces tenemos una nueva
"cualidad" de números, que son
"infinitamente más" que los números
racionales; o sea, tienen una "cualidad de
infinidad" superior a la infinidad de los números
racionales. (Georg Cantor demostró en el siglo XIX que
los números racionales, aunque infinitos, son
"contables"; mientras los números irracionales
son "incontables" aun si dispusiéramos de una
cantidad infinita de tiempo; por tanto su infinidad es
"mayor" que la infinidad de los números
racionales.)
Los antiguos griegos no podían captar estos conceptos.
Aunque estaban muy avanzados en la matemática, para
ellos, la idea de una secuencia infinita era una paradoja
irresoluble. Esto tiene que ver con su religión: Los
dioses de la mitología griega eran limitados y finitos.
La "matemática de lo infinito" pudo surgir
solamente en una cultura fuertemente influenciada por las
enseñanzas bíblicas acerca del Dios infinito. Y así,
la matemática es la ciencia más indicada para darnos
una idea de la infinidad de Dios.
Esto implica también que en la matemática habrá
siempre lugar para descubrimientos nuevos. Siempre
existirá un "más allá" de la matemática ya
conocida. Por ejemplo, durante miles de años se
practicaba la geometría según los principios
establecidos por Euclides; pero en el siglo XIX se
descubrio que la geometría euclídea es solamente un
"caso especial" entre muchas
geometrías posibles. (De hecho, en el siglo XX Kurt
Gödel demostró que no puede existir ningún sistema
matemático "cerrado". O sea, no puede existir
una matemática que sea lógicamente coherente y a la vez
completa.)
Por tanto, la matemática tiene también que ver con creatividad. Aunque sus
principios son inalterables, pero no son limitados.
Siempre es posible descubrir principios superiores que
abarcan los principios ya conocidos, pero van más allá
de ellos. Todos los grandes descubrimientos de la
matemática se basaron en ideas creativas que traspasaron
los límites que los matemáticos anteriores habían
impuesto.
En consecuencia, una buena enseñanza de matemática no debe limitar a los alumnos a aplicar hechos y métodos aprendidos de un profesor. Al contrario, debe animarlos a descubrir nuevos principios y desarrollar nuevos métodos. Puesto que la matemática es universal, es accesible a todos. Entonces, cada alumno puede descubrir principios matemáticos, y puede desarrollar sus propios métodos basados en estos principios, usando el pensamiento lógico y la inspiración creativa.
La matemática refleja también la justicia de Dios. La Palabra de Dios enfatiza que nuestros pesos y medidas deben ser correctos y justos:
"No tendrás en tu bolsa pesa grande y pesa chica, ni tendrás en tu casa efa grande y efa pequeño. Pesa exacta y justa tendrás; efa cabal y justo tendrás, para que tus días sean prolongados sobre la tierra que el Señor tu Dios te da. Porque abominación es al Señor tu Dios cualquiera que hace esto, y cualquiera que hace injusticia."
(Deuteronomio 25:13-16)
La matemática refleja también la omnisciencia de Dios. Ya hemos citado unos versos bíblicos que indican que Dios conoce los pesos y medidas del universo entero. Consideremos además este pasaje:
"¿No se venden cinco pajarillos por dos cuartos? Con todo, ni uno de ellos está olvidado delante de Dios. Pues aun los cabellos de vuestra cabeza están todos contados. No teman, pues; más valen ustedes que muchos pajarillos." (Lucas 12:6-7)
Estos aspectos deberán tomarse en cuenta en las siguientes sugerencias de como compartir la matemática con los niños.
Primeros pasos hacia el pensamiento matemático
Ya hemos visto que la matemática tiene mucho que ver con el orden. Normalmente, los niños pequeños hacen sus primeros pasos hacia un pensamiento matemático en relación con el orden en la casa. (No debemos pensar que solamente "números" son matemática. Hay ramas enteras de la matemática, como por ejemplo la topología o la lógica proposicional, que no tienen casi ninguna relación con números.) El niño empieza a desarrollar el pensamiento matemático cuando ayuda a guardar los cubiertos (las cucharas en su lugar, los tenedores en su lugar, los cuchillos en su lugar ...); o cuando aprende como se dobla la ropa y donde se guardan los pantalones, donde las medias, etc; o cuando aprende a tener orden en sus juguetes. - Más tarde aprenderá a ordenar objetos según diferentes criterios: según su color, según su tamaño, según su uso, según el material del cual están hechos, etc.
Otro paso básico de la matemática es aprender a contar. Si el niño crece en un ambiente favorable a su curiosidad natural, pronto empezará a preguntar acerca de cualquier serie de objetos: "¿Cuántos son?" - Una vez que sabe contar bien, hay que animarlo a que aprenda también a contar "hacia atrás" (10, 9, 8, 7, ...). De este contar "hacia adelante" y "hacia atrás" surgirán más adelante de manera natural las operaciones de suma y resta (pero en niños promedios no antes de los siete años de edad, según las investigaciones de Piaget.)
Un poco más avanzado es el concepto de medir.
Casi todos los trabajos manuales, si deben ser bien
hechos, requieren alguna forma de medición; sea en
carpintería, construcción metálica, costura, cocina, o
simplemente origami, o cortar tarjetas de cartulina a
medida. Si es costumbre en la familia hacer de vez en
cuando algún trabajo manual juntos, los niños pronto
aprenderán a medir.
Es probable que el niño se interese también en su
propio crecimiento y quiera saber cuánto mide y cuánto
pesa. Así es bueno tener una balanza en casa, y en
algún lugar pegar una cinta métrica en la pared para
que los niños puedan medirse unos a otros.
Al medir, para algunos niños es una dificultad entender
que la medición empieza con "cero", porque al
contar están acostumbrados a comenzar con
"uno". Entonces colocan la regla o cinta
métrica con el número 1 al
inicio del objeto a medir. Tenemos que explicarles que al
inicio todavía no hay "nada", o sea cero; y
recién cuando hemos avanzado un centímetro (por
ejemplo), tenemos "uno". Este concepto del
"cero" no es tan trivial como parece; por
ejemplo los antiguos griegos y romanos todavía no
conocían el cero como número. Por eso, el medir
requiere un desarrollo mental más avanzado que el
contar.
Aprender con operaciones concretas
Puesto que la edad de primaria coincide en gran parte con la etapa de las operaciones concretas, la matemática de los niños durante esta etapa debe consistir mayormente en la manipulación de objetos concretos. A los símbolos abstractos y las notaciones todavía no se le debe dar demasiada importancia durante esta etapa. Mucho más importante es el descubrimiento de leyes matemáticas por medio de la experiencia propia. Actividades como las siguientes pueden proporcionar tales experiencias:
- Ir de compras o ir a vender algo, pagar resp. cobrar
correctamente, calcular los precios y el vuelto.
- Cocinar según recetas, medir y pesar los ingredientes,
adaptar la receta proporcionalmente (por ejemplo la
receta es para 4 personas, pero cocinamos para 6
personas).
- Hacer trabajos manuales que requieren conceptos
geométricos (origami, carpintería, modelos recortables
de papel, etc.)
- Construir edificios y máquinas con juegos de
construcción como Lego, Mécano, etc.
- Armar rompecabezas (primero figurativos; más adelante
también geométricos como p.ej. el Tangram).
- Jugar juegos de mesa como Damas, Ludo, Damas chinas,
Dominó, Memoria, Ajedrez, etc.
- Formar figuras de piedritas, semillas, cubitos de
madera, etc, y contar sus miembros. (Cadenas que se suman
o restan, rectángulos y cuadrados, triángulos, etc.)
- Según Howard Gardner, el tejer también está
relacionado con la inteligencia matemática
(particularmente el diseñar y aplicar distintos patrones
de puntos).
(En los juegos como Ludo que requieren avanzar un número determinado de pasos, a veces los niños tienen el mismo problema como con las mediciones: cuentan el cuadro donde se encuentran como "uno" y el primer paso como "dos".)
Además es bueno tener unos materiales didácticos creados más específicamente para el aprendizaje de la matemática. Muchos de estos materiales uno puede fabricar de manera casera; por ejemplo:
- Cadenas de cuentas de madera o plástico, de
longitudes 1 a 10, para practicar contar, sumar y restar.
Para practicar las tablas de multiplicación, se
necesitan diez cadenas de cada longitud.
- Regletas Cuisenaire (unas regletas de madera hechas a
medida, de 1x1 cm de grosor y longitudes de 1 a 10 cm).
- Un ábaco.
- Rompecabezas figurativos y geométricos. (Rompecabezas
geométricos famosos son el Tangram, los Pentóminos, y
otros. Aun más desafiantes son los rompecabezas
tridimensionales que exigen armar p.ej. un cubo de
distintas piezas.)
- Una balanza con pesas.
- Una tienda para jugar se puede hacer con cajitas o
latas vacías de alimentos, jaboncillos, crema dental,
etc, poniéndoles sus precios, y fabricando monedas y
billetes de juguete.
- Bloques lógicos. (Un juego de bloques de madera que
consisten en todas las 48 combinaciones posibles de las
siguientes propiedades: grande o pequeño; delgado o
grueso; rojo, azul o amarillo; triángulo, rectángulo,
cuadrado o círculo. Pueden servir para clasificarlos por
sus propiedades, para el reconocimiento elemental de
figuras geométricas, y para descubrir operaciones de
conjuntos y de la lógica proposicional.)
- Fracciones de círculos cortados de cartón o de
madera.
Quizás no es posible para cada familia adquirir o fabricar tales materiales; pero se puede juntar una comunidad de familias educadoras, o de familias fundadoras de una escuela cristiana, y conseguir los materiales juntos. Así los mismos materiales beneficiarán un número más grande de niños.
Nota: La pedagogía Montessori hace mucho uso de materiales concretos; se pueden encontrar más ideas en sitios web acerca del método Montessori. Comprar los materiales de empresas especializadas en materiales Montessori resultará caro, porque este método insiste en que los materiales sean de la máxima calidad; pero muchos de estos materiales se pueden también fabricar de manera casera.
Investigaciones matemáticas
En vez de dar a los niños conceptos matemáticos ya "hechos" y exigir que los memoricen, es mucho mejor incentivarlos a que ellos mismos hagan descubrimientos matemáticos. "Gloria de Dios es encubrir un asunto; pero honra del rey es escudriñarlo." (Prov.25:2). Si queremos que nuestros hijos sean educados como "hijos del rey", entonces tenemos que mostrarles que ellos mismos son capaces de "escudriñar" un asunto. La matemática se presta para esto de manera especial, porque es universal. O sea, cada uno puede "escudriñarla" sin la necesidad de un profesor o de libros o conocimientos especializados. Es una experiencia educativa muy importante para el niño cuando experimenta que él mismo puede descubrir leyes matemáticas, simplemente "jugando" con números o con figuras geométricas.
Esto puede empezar a un nivel muy elemental. Por
ejemplo, un niño está descubriendo la suma y la resta,
usando un ábaco o contando piedritas o simplemente con
sus dedos. Entonces podemos presentarlo con el siguiente
desafío: "Empieza con tres y suma cinco. ¿A
cuánto llegas?" - "Ocho." (Probablemente
el niño tuvo que contar de uno en uno para llegar a esta
respuesta.) "Ahora que tienes ocho, réstale cinco.
¿A qué número llegas? ¿Puedes descubrirlo sin
contar?" - Esta última pregunta desafía al
niño a descubrir una ley matemática: que la resta es lo
inverso de la suma. (Quizás tendrá que hacer muchos
ejemplos hasta que lo descubra. Pero no hay que
adelantarse a este descubrimiento, diciéndole la
respuesta. La experiencia educativa sucede solamente
si el niño lo descubre por sí mismo.)
- A la vez el niño experimentará que la aplicación de
leyes matemáticas facilita el cálculo:
Sabiendo que 3 + 5 = 8, y sabiendo que la resta es
"suma al revés", el niño puede saber inmediatamente
(o sea, sin contarlo) que 8 - 5 = 3. Este es un paso muy
importante en el pensamiento matemático. Si el niño
recibe solamente reglas para memorizar, no dará este
paso, y por tanto no entenderá lo que es la esencia del
pensamiento matemático.
Situaciones de la vida diaria pueden también dar lugar a investigaciones y descubrimientos matemáticos. Por ejemplo: "¿Qué altura tendrá esta casa? ¿Cómo podríamos medirlo sin tener que subir arriba?" - "¿De cuántas maneras distintas se puede sencillar este billete de diez?" - "¿Qué cantidad de agua cabe en esta olla? ¿Cómo podemos medirlo sin litrera?" - etc.
Aprender por medio de la historia de la matemática
Uno puede llegar a apreciar más un problema
matemático específico, si uno estudia como este
problema fue tratado por diversos matemáticos a lo largo
de la historia.
Por ejemplo, nuestro sistema de numeración decimal no
existía siempre. ¡Intente resolver una multiplicación
o división con varias cifras en números romanos!
Después estará más agradecido por el invento
revolucionario del valor posicional y de la cifra cero.
La combinación de estas dos ideas resultó en el
desarrollo de nuestro sistema decimal, en la India de la
Edad Media. Al estudiar la historia de sistemas de
numeración antiguos, y de nuestro sistema decimal
actual, uno llega a entender mejor los principios detrás
de este sistema. Se llegará a entender también por qué
ciertas medidas que usamos, no obedecen a un sistema
decimal (por ejemplo los segundos, minutos y horas, o los
360 grados del círculo).
Otra historia fascinante (aunque para alumnos un poco
más avanzados) es la historia de la "cuadratura del
círculo". Este problema ocupaba a los antiguos
griegos durante siglos: ¿Cómo se puede construir un
cuadrado cuya área es igual al área de un círculo
dado? (En otras palabras, ¿cómo se puede construir el
valor del número &pi ?) Ellos encontraron algunos
métodos como aproximar el valor correcto hasta
la precisión deseada, pero ninguna manera de construirlo
de manera exacta. Así que el problema siguió
vigente durante muchos siglos más, hasta que en un
tiempo bastante reciente se comprobó que una tal
construcción es imposible.
La investigación de la historia de la matemática puede proveer unos proyectos interesantes para familias educadoras, o para escuelas alternativas que no imponen un currículo rígido. Se puede investigar la historia de descubrimientos matemáticos importantes (p.ej. la extracción de raíces cuadradas; los números primos; la trigonometría comenzando con el teorema de Pitágoras; el álgebra; los logaritmos; el cálculo infinitesimal; la teoría de conjuntos; etc.), o también la historia de inventos importantes relacionados con la matemática (el reloj; el sextante; el espejo parabólico; el ábaco; la calculadora; la computadora; etc.). Todas estas investigaciones resultarán en una mejor comprensión de la matemática misma. Con la cantidad de información disponible en internet hoy en día, no debe ser difícil encontrar informaciones al respecto.
Al mismo tiempo, uno encontrará que un buen número de matemáticos y físicos del pasado (por lo menos hasta el siglo XIX) tenían convicciones cristianas. Aunque quizás no todos habían nacido de nuevo personalmente, la mayoría de ellos seguían principios bíblicos en sus descubrimientos y se declararon cristianos: Pascal, Newton, Leibniz, Kepler, Euler, Maxwell, Riemann, Cantor, y muchos otros.
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